Loading...

ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΜΕΤΡΗΣΗΣ

 
ΑΣΥΜΜΕΤΡΑ ΜΕΓΕΘΗ

Ασύμμετρα Μεγέθη

  • Ορισμός

    «Σύμμετρα μεγέθη λέγεται τὰ τῷ αὐτῷ μέτρῳ μετρούμενα, ἀσύμμετρα δέ, ὧν μηδὲν ἐνδέχεται κοινὸν μέτρον γενέσθαι». Δηλαδή Σύμμετρα μεγέθη ονομάζονται αυτά τα οποία μετριούνται με το αυτό μέτρο, ασύμμετρα δε, αυτά για τα οποία ενδεχομένως κανένα μέτρο δεν μπορεί να γίνει κοινό.
    Ο ορισμός και όλοι οι σχετικοί όροι και προτάσεις (θεωρήματα) που αναφέρονται στα Ασύμμετρα και σύμμετρα μεγέθη είναι εδώ

    Απόδειξις υπάρξεως ασύμμετρων μεγεθών

    με σημερινούς όρους και γραφή. (Η πρωταρχική απόδειξις είναι εδώ)


    Έστω το Τετράγωνο ΑΒΓΔ ⇔ (ΑΓ)2 =2 (ΑΒ)2 (1).

    Έστω ότι τα ΑΓ και ΑΒ είναι σύμμετρα τότε: ΑΓ/ΑΒ=ΕΖ/Η (2),

    οπου τα ΕΖ και Η έστω οι αντίστοιχοι ακέραιοι των μετρούμενων με το κοινό μέτρο ΑΓ και ΑΒ,

    το ΕΖ/Η αν δεν είναι ανάγωγο το κάνουμε, ΕΖ/Η =Ανάγωγον (3).

    (1) & (2) ⇔ (ΕΖ)2=2 Η2 ⇔ (ΕΖ)2 = Άρτιος ⇔ ΕΖ = Άρτιος (4).

    (3) & (4) ⇔ Η = Περιττός.

    (4) ⇔ ΕΖ= 2 (ΚΛ) ⇔ (ΕΖ)2 =4 (ΚΛ)2 ⇔ 2 Η2 = 4 (ΚΛ)2 ⇔ Η2 = 2 (ΚΛ)2

    ⇔ Η2 = Άρτιος ⇔ Η = Άρτιος.

    Όπερ Άτοπον


    Ο Ἀριστοτέλης γνώριζε πολύ καλά την απόδειξη αυτού του θεωρήματος και την αναφέρει συνοπτικώς και παρεμπιπτόντως στα "Ἀναλυτικά Πρότερα" στο κεφάλαιο όπου αποδεικνύει την "αποδεικτική ισχύ" που έχει η μέθοδος της "εις άτοπον απαγωγή". (Εδώ να διευκρινίσουμε ότι η "διαγώνιος" προκειμένου για εγγράψιμα σχήματα αναφέρεται και ως "διάμετρος", για να τονιστεί ακριβώς αυτό)

    ἀσύμμετρος ἡ διάμετρος διὰ τὸ γίνεσθαι τὰ περιττὰ ἴσα τοῖς ἀρτίοις συμμέτρου τεθείσης
    Ἀριστοτέλης Αναλ Προτ 41α 26

    Το θεώρημα είναι πολύ παλαιό, αναφέρεται και στα Στοιχεία Ευκλείδου, αλλά είναι Πυθαγόρειας προέλευσις.
    Η αξία του είναι υψίστη, καθότι αποδεικνύει κάτι, το οποίο ο κοινός νους δεν μπορεί καν να το φανταστεί, ούτε εκ των υστέρων!!
    Δηλαδή, ότι για δύο μήκη (και μάλιστα ευθύγραμμα και μάλιστα με γνωστή σχέση μεταξύ τους), δεν υπάρχει κοινό μέτρο, άρα δεν μπορούν να μετρηθούν!!!
    Πόσο μάλλον για άλλα άσχετα μεταξύ τους μεγέθη!
    Το τελικό "αδιανόητο" συμπέρασμα είναι ότι τίποτε δεν μετριέται!!