Τὸ θεώρημα τοῦ Γκαῖντελ (Goedel) καὶ ἡ Εὐκλείδειος Θεωρία

«Principia Mathematica»: δὲν ἀναθεωρήθηκαν, διδάσκονται σιωπηλῶς ὡς ἔχουν!

• Σὲ αὐτὸ τὸ κείμενο, ἡ πρόθεσή μου δὲν εἶναι νὰ παρουσιάσω τὴν ἀπόδειξη τοῦ θεωρήματος τοῦ Kurt Gödel (ἡ ὁποία εἶναι ἀρκετὰ τεχνικὴ καὶ ἀπαιτεῖ καλὴ γνώση «τυπικῆς Λογικῆς»), ἀλλὰ νὰ διατυπώσω μερικὲς σκέψεις γύρω ἀπὸ τὴν ὅλη ὑπόθεση, ἡ ὁποία ἀπὸ τὸ 1931 μέχρι σήμερα ἀπασχολεῖ τὴν ἐπιστημονικὴ κοινότητα καὶ σὲ μαθηματικὸ καὶ σὲ φιλοσοφικὸ ἐπίπεδο.

  Γιὰ τὴν ἀπόδειξη τοῦ θεωρήματος μπορεῖτε νὰ ἀνατρέξετε στὸ διαδίκτυο καὶ νὰ τὴν βρεῖτε, νὰ τὴν διαβάσετε καὶ νὰ τὴν μάθετε! Ὑπάρχουν καὶ βιβλία στὰ Ἑλληνικὰ ποὺ παρουσιάζουν τὸ ὅλο Θεώρημα. Ἡ ἀπόδειξη, μᾶς λένε, ὅτι εἶναι δύσκολη, ἐδῶ ἁπλᾶ ἰσχύει τὸ ὅτι «ἄν κάτι δὲν τὸ ξέρουμε εἶναι δύσκολο, ὅταν τὸ μαθαίνουμε εἶναι εὔκολο». Ἀσχέτως τοῦ πόσο εὔκολη ἢ δύσκολη εἶναι ἡ κατανόηση τῆς ἀπόδειξης, «ἡ διατύπωση τοῦ θεωρήματος» αὐτοῦ εἶναι πολὺ ἁπλή, καὶ θὰ μποροῦσε νὰ διδάσκεται ἀκόμα καὶ στὶς πρῶτες τάξεις τοῦ Γυμνασίου μὲ μία πρόταση τοῦ τύπου:
  «ἡ σύγχρονη ἀξιωματικὴ θεμελίωση τῶν Μαθηματικῶν, ἐνδέχεται νὰ παράγει προτάσεις (θεωρήματα), οἱ ὁποῖες εἶναι μὴ ἀποκρίσιμες, δηλαδὴ γιὰ τὶς προτάσεις αὐτὲς δὲν μποροῦμε νὰ ἀποφανθοῦμε ἐὰν εἶναι ἀληθεῖς ἢ ψευδεῖς παρ' ὅλο ποὺ αὐτὲς οἱ προτάσεις εἶναι ἐπιστημονικές, καθότι παρήχθησαν μὲ ὅλους τοὺς κανόνες τῶν μαθηματικῶν!»
  
  
• Τὸ θεώρημα τοῦ Kurt Gödel δημοσιεύτηκε τὸ 1931 σὲ γερμανικὸ ἐπιστημονικὸ περιοδικὸ μὲ τίτλο:
  «Γιὰ τὶς τυπικὰ μὴ ἀποκρίσιμες προτάσεις στὸ Principia Mathematica καὶ στὰ σχετικὰ συστήματα»
  (Τίτλος πρωτοτύπου: «Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme», στὰ Ἀγγλικὰ «On Formally Undecidable Propositions of Principia Mathematica and Related Systems»)
  
  
• Ὁ Kurt Gödel μὲ αὐτὸ τὸ θεώρημα ἀπέδειξε ὅτι ὅλες οἱ προσθῆκες καὶ οἱ ἀλλαγὲς ποὺ ἔγιναν στὸ ἀριθμητικὸ μέρος τῆς Εὐκλείδειας Θεωρίας, ὁδηγοῦν τελικὰ σὲ ἀδιέξοδο καὶ σὲ ἀντίφαση, δηλαδή, παράγουν προτάσεις ποὺ δὲν εἶναι οὔτε ἀληθεῖς οὔτε ψευδεῖς, εἶναι δηλαδὴ "ἀνοησίες" ὅπως ἀνοησίες εἶναι καὶ οἱ προτάσεις ἀπὸ τὶς ὁποῖες ξεκινοῦν, νὰ ὁρίζουν π.χ. τὸ «μηδέν», καὶ τὸ χειρότερο νὰ τὸ κατατάσσουν αὐθαίρετα στοὺς ἀριθμοὺς (1ο ἀξίωμα Peano)! καὶ ἄλλα πολλά.
  
  
• Τὸ ἀπολύτως κλειστὸ σύστημα τῶν «πραγματικῶν ἀριθμῶν» καὶ τῶν 4 πράξεων του (+, -, *, /) εἶναι ἀδύνατον νὰ κατασκευαστεῖ μᾶς λέει τὸ θεώρημα τοῦ τοῦ Kurt Gödel !
  Ἀρχικὰ νὰ ἐξηγήσουμε τὶ σημαίνει «κλειστὸ σύστημα» μὲ ἕνα παράδειγμα.
  ἔστω ἕνα σύστημα ποὺ περιλαμβάνει:
  1. [τοὺς φυσικοὺς ἀριθμοὺς (1, 2, 3, 4, ...)]
  2. [τὸ βασικὸ ἀξίωμα «γιὰ κάθε φυσικὸ n ὑπάρχει ὁ ἑπόμενός του ὁ n+1»]
  3. [ἡ πράξη τῆς πρόσθεσης ὅπως τὴν ξέρουμε]
  ὁποιαδήποτε πρόταση μπορεῖ νὰ παραχθεῖ σὲ αὐτὸ τὸ σύστημα τὸ ἀποτέλεσμά της θὰ εἶναι ἕνας ἀριθμός μέσα στοὺς φυσικοὺς ἀριθμοὺς δηλαδὴ μέσα στὸ σύστημα!!!
  Τὸ σύστημα αὐτὸ ἑπομένως ἔχει ἀπόλυτη πληρότητα καὶ ἀπόλυτη συνέπεια δηλαδὴ μὲ ἄλλα λόγια εἶναι κλειστό!
  
  
• Συνέπεια σημαίνει ὅτι γιὰ κάθε πρόταση ποὺ παράγεται ἀπὸ τὸ σύστημα μποροῦμε νὰ εἴμαστε ἀπολύτως βέβαιοι γιὰ τὴν ἀληθοτιμὴ της (π. χ. 3+2=6 Ψευδές, 3+2=5 Ἀληθές).
• Πληρότητα σημαίνει ὅτι τὸ ἀποτέλεσμα τῆς ὅποιας πράξης νὰ εἶναι μέσα στὸ σύνολο «φυσικοὶ ἀριθμοί» καὶ ὁποιοιδήποτε ἀπὸ αὐτοὺς δίνουν ἀποτέλεσμα στὴν πράξη τῆς πρόσθεσης.
• «Κλειστό» λοιπὸν εἶναι ἕνα σύστημα ὅταν ἔχει «πληρότητα καὶ συνέπεια»! Μποροῦμε «ἐπίσης νὰ ποῦμε ὅτι, ἕνα σύστημα εἶναι τόσο κλειστὸ ὅση πληρότητα καὶ συνέπεια ἔχει.
  
  
• Τὸ νὰ κατασκευάσουμε ἕνα κλειστὸ σύστημα ἀριθμῶν καὶ γιὰ τὶς 4 πράξεις, (αὐτὸ προσπάθησαν στὸ «Principia Mathematica»), δηλαδὴ ἕνα σύστημα μὲ ἄπειρη πληρότητα καὶ ἄπειρη συνέπεια εἶναι λογικὰ ἀδύνατον.
  
  
• Τὸ πλῆρες θεώρημα τοῦ Kurt Gödel στὴν ἀγγλικὴ γλῶσσα εἶναι ἐδῶ.
  
  
• Τὸ θεώρημα τοῦ Gödel ὅσο πολύπλοκο καὶ ἄν εἶναι στὴν ἀπόδειξη του (ἄν εἶναι!, γιατὶ νομίζω κι ἐδῶ ἰσχύει τὸ ἀξίωμα «ὅτι μᾶς φαίνεται δύσκολο, εἶναι δύσκολο μέχρι νὰ τὸ κατανοήσουμε, μετὰ εἶναι παιγνιδάκι») τόσο ἁπλὸ, σαφές, κατανοητό, εὔκολο καὶ ξεκάθαρο εἶναι στὴ διατύπωση καὶ τὰ συμπεράσματα του.
  
  
• Οἱ ἐπιστήμονες ὄχι μόνο τῶν μαθηματικῶν ἀλλὰ καὶ τῶν ἄλλων ἐπιστημῶν ποὺ χρησιμοποιοῦν τὰ μαθηματικὰ καὶ ποὺ σὲ αὐτὰ βασίζουν τὰ συμπεράσματά των θὰ ἔπρεπε ἢ νὰ ἀλλάξουν τὸ ὅλο σύστημα ἢ νὰ ἀποδείξουν ὅτι τὸ θεώρημα δὲν ἰσχύει!
  Αὐτὴ ἡ κατάσταση τῆς σιωπῆς εἶναι ἀκατανόητη!
  
  
• Ὑπάρχει καὶ ἕνα ἄλλο πολύ σημαντικὸ ζήτημα, μερικοί ἰσχυρίζονται ὅτι τὸ θεώρημα ἰσχύει γιὰ ὅλα τὰ ἀξιωματικὰ συστήματα ἐνῶ ἡ ἀλήθεια εἶναι ὅτι ἰσχύει μόνο γιὰ τὰ τύπου «Principia Mathematica», ὅπως σαφῶς τὸ δηλώνει στὸν τίτλο ὁ ἴδιος ὁ διατυπώσας τὸ θεώρημα.
  Παράδειγμα, στὸ βιβλίο τῶν Ernest Nagel, James Newman μὲ τίτλο «Τὸ θεώρημα τοῦ Godel» ποὺ ἔχει ἐκδοθεῖ καὶ στὰ Ἑλληνικὰ ἀπὸ τὶς ἐκδόσεις «Τροχαλία», γίνεται μιὰ τέτοια προσπάθεια (ἀνεπιτυχὴς βέβαια) νὰ περιλάβουν καὶ τὴν «Εὐκλείδειο Θεωρία» στὰ ἀξιωματικὰ συστήματα ποὺ ἐμπίπτουν στὸ θεώρημα Gödel. Στὴν προσπάθεια αὐτὴ παραποιοῦν πλήρως τὸ θεώρημα 20 τοῦ 9ου βιβλίου τόσο στὴν διατύπωση του (σελίς 41) ὅσο καὶ στὴν ἀπόδειξη (σελίς 42)!!!!! Τὸ παραθέτω καὶ μπορεῖτε νὰ τὰ συγκρίνετε: ἐδῶ ἡ σελὶς 41 ὅπου θὰ βρεῖτε τὴν παραποιημένη διατύπωση καὶ ἐδῶ σελὶς 42, ὅπου παραποιεῖται πλήρως ἡ ἀπόδειξη.
  
  
• ἐδῶ πρέπει νὰ τονίσουμε ὅτι τὸ θεώρημα Gödel. δὲν μπορεῖ νὰ ἐφαρμοστεῖ στὴν θεωρία τοῦ Εὐκλείδη («Στοιχεῖα Εὐκλείδου»), διότι, ἡ θεωρία αὐτὴ δὲν ἔχει ὡς στοιχεῖα της τὸ «μηδέν», τὸ «ἄπειρο» καὶ τὴν «συνέχεια» γιὰ τὰ ὁποῖα καὶ χωρίς τὰ ὁποῖα δὲν ἔχει νόημα τὸ θεώρημα Gödel.
  
  
  
• Τὰ μαθηματικὰ εἶναι «Σκέψη» (ὄχι ἀντικείμενο τῆς πραγματικότητας), ἡ ὁποία εἶναι ἀπαραίτητη γιὰ τὴν περιγραφὴ τῆς πραγματικότητας!
  
  
• Δὲν εἶναι δὲ ἐπιτρεπτὸ «τα Μαθηματικά», οὔτε νὰ θεωρηθοῦν ἀντικείμενο τῆς πραγματικότητας οὔτε αὐτόνομο καὶ κλειστὸ ἀντικείμενο τῆς σκέψης ὅπως προσπάθησαν νὰ τὸ κάνουν στὸ «Principia Mathematica»!
  
  
• Ἡ Σκέψη ὀφείλει καὶ πρέπει νὰ μείνει «ἀνοικτή»!