ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΜΕΤΡΗΣΗΣ

Η διάδοση του σφάλματος και οι τρεις μέθοδοι υπολογισμού του

Ἡ Μέτρηση

Ἡ διάδοση τοῦ σφάλματος καὶ οἱ τρεῖς μέθοδοι ὑπολογισμοῦ του

Διάδοση σφάλματος. Τὸ σφάλμα σ' ἕνα μέγεθος, τὸ ὁποῖο ὑπολογίζεται ἐμμέσως ἀπὸ ἄλλα μετρήσιμα μεγέθη, ὑπολογίζεται ἀπὸ τὰ σφάλματα τῶν μεγεθῶν ποὺ τὸ προσδιορίζουν μὲ μία ἀπὸ τίς παρακάτω μεθόδους.

Μέθοδος Παραγώγων.
Λαμβάνουμε τὴν τετραγωνικὴ ρίζα τοῦ ἀθρίσματος τῶν τετραγώνων τῶν μερικῶν παραγώγων τῆς σχέσης στὴν ὁποία εἶναι τὰ μετρούμενα μεγέθη
Μέθοδος Σχετικοῦ σφάλματος
Στὴν μέθοδο αὐτὴ προσθέτουμε τὰ σχετικὰ σφάλματα ὅλων τῶν μετρημένων μεγεθῶν ποὺ ὑπεισέρχονται στὴν διάδοση καὶ ἔχουμε ἔτσι τὸ σχετικὸ σφάλμα τοῦ τελικοῦ μεγέθους. Ἐξ αὐτοῦ ὑπολογίζουμε τὸ ἀπόλυτο σφάλμα, αὐτὸ στρογγυλοποιεῖται στὸ «ἕνα» σημαντικὸ ψηφίο, ἡ θέσῃ τοῦ ὁποίου μᾶς ὑποδεικνύει τὸν ἀριθμὸ τῶν σημαντικῶν τῆς τελικῆς τιμῆς.
Παράδειγμα: ἡ ταχύτητα ὑ ἑνὸς τραίνου ποὺ διανύει
ἀπόσταση S=(47,33 ±0,02) m (σχετικὸ σφάλμα 0,04 % )
σὲ χρόνο t=(3,77 ± 0,03) s (σχετικὸ σφάλμα 0,8 %) εἶναι:
υ=s/t = 47,33/3,77 m/s = 12,55437665...m/s μὲ ὁλικὸ σχετικὸ σφάλμα (0,04+0,8) % = 0,84 % = 0,8 %.
Άρα το 0,8 % του 12,55437665... ποὺ εἶναι 0.1 εἶναι τὸ ἀπόλυτο σφάλμα τῆς ταχύτητας.
Ἑπομένως ἡ ταχύτητα θὰ γραφεῖ υ=(12,6 ± 0,1) m/s
Μέθοδος Σημαντικῶν ψηφίων.
Στὴ μέθοδο τῶν σημαντικῶν ψηφίων τὸ μέγεθος μὲ τὰ λιγότερα σημαντικὰ ἐπιβάλλεται. Τὸ τελικὸ ἀποτέλεσμα ἔχει τόσα σημαντικὰ ψηφία ὅσα ἔχει τὸ μέγεθος μὲ τὰ λιγότερα σημαντικά, ἀπὸ ὅλα τὰ μεγέθη ποὺ ὑπεισέρχονται στοὺς ὑπολογισμούς. Στὸ προηγούμενο παράδειγμα τὸ διάστημα ἔχει 4 σημαντικὰ ψηφία ὁ χρόνος 3 σημαντικά, ἄρα τὸ ἀποτέλεσμα πρέπει νὰ ἔχει καὶ αὐτὸ 3. Δηλαδὴ γράφουμε υ=12,6 m/s

* Ἡ πρώτη μέθοδος μὲ τίς «παραγώγους» εἶναι ἡ πιὸ αὐστηρή. Ἡ δεύτερη μὲ τὸ «σχετικὸ σφάλμα» εἶναι μιὰ ἐνδιάμεσος, καὶ ἡ τρίτη μὲ τὰ «σημαντικὰ ψηφία» εἶναι ἡ πιὸ σύντομος ἀλλὰ ἔχει τὴν ἀδυναμία τοῦ δεκαδικοῦ συστήματος νὰ ἐξισώνει μετρήσεις μὲ ἴδια σημαντικά,. πχ τὸ 11 καὶ τὸ 99 τὰ θεωρεῖ ἴδια (2 σημαντικὰ), ἐνῶ ἔχουν 10% καὶ 1% σχετικὸ σφάλμα ἀντίστοιχα. Στὸ δυαδικὸ σύστημα δὲν ἔχουμε τόσο ἔντονο αὐτὸ τὸ φαινόμενο, ἐκεῖ τὰ σημαντικὰ ψηφία τὰ ὀνομάζουμε bits καὶ εἶναι ἀρκετὰ ἱκανοποιητικὴ ἡ προσέγγιση τῆς ἀκρίβειας τῶν μετρήσεων μέσῳ αὐτῶν.