Τα γραπτά μένουν.

25/4/2002 Qubit και Κβαντικές Πύλες

Η βασική μονάδα της κβαντικής πληροφορικής είναι το κβαντικό bit ή όπως ονομάζεται διεθνώς qubit. To qubit είναι το κλασσικό bit που με την κβαντομηχανική αρχή της υπέρθεσης αποκτά νέες δυνατότητες. Από φυσικής απόψεως το qubit μπορεί να αναπαρασταθεί από ένα ιδανικό κβαντικό σύστημα δύο καταστάσεων. Πολλές είναι οι προτάσεις για την φυσική υλοποίηση των qubit με διάφορα δικατάστατα συστήματα όπως φωτόνια (κάθετη και οριζόντια πόλωση), ηλεκτρόνια και άλλα συστήματα φερμιονίων (σπιν ½) και γενικότερα συστήματα που χαρακτηρίζονται από άτομα και ιόντα με δύο διακριτές ενεργειακές καταστάσεις.

Από την οπτική γωνία της επεξεργασία της πληροφορίας ο χώρος των καταστάσεων ενός qubit αποτελείται από τις δύο ‘λογικές’ ή ‘υπολογιστικές’ ιδιοκαταστάσεις |0> και |1>. Χρησιμοποιήσαμε τον συμβολισμό που εισήγαγε ο Dirac για τις καταστάσεις αυτές όπου τα σύμβολα | και > αντιπροσωπεύουν το qubit. Τοποθετώντας ανάμεσα στα σύμβολα αυτά π.χ. το 0 έχουμε το |0> που αντιστοιχεί στην κατάσταση 0 του συγκεκριμένου qubit . Η αρχική κατάσταση ενός qubit είναι πάντα μία από τις δύο λογικές καταστάσεις. Χρησιμοποιώντας κατάλληλες διαδικασίες (πύλες Hadamard) όπως θα δούμε και παρακάτω, μπορούμε να μεταβούμε όμως σε ένα γραμμικό συνδυασμό (υπέρθεση) των λογικών καταστάσεων. Οι υπερθέσεις αυτές εκφράζονται σαν αθροίσματα της μορφής όπου α, b είναι μιγαδικοί αριθμοί που τα ονομάζουμε πλάτη πιθανότητας της αντίστοιχης λογικής κατάστασης. Η ύπαρξη τέτοιων καταστάσεων είναι από τις βασικές αρχές της κβαντικής θεωρίας και ονομάζεται αρχή της υπέρθεσης.

Ένας άλλος τρόπος για να αναπαραστήσουμε την κατάσταση ενός qubit είναι με την μορφή πινάκων και έχουμε την αντιστοίχιση:

Οι καταστάσεις του qubit που είναι γραμμικοί συνδυασμοί των λογικών καταστάσεων δηλαδή οι  ονομάζονται ‘καθαρές’ καταστάσεις (pure states) εάν οι συντελεστές α, b ικανοποιούν τη σχέση  . Τότε οι καταστάσεις αυτές είναι  κανονικοποιημένες και τα μεγέθη  μας δίνουν την πιθανότητα σε μία μέτρηση του qubit να είναι στην λογική κατάσταση |0> ή |1> αντίστοιχα. Μερικά παραδείγματα τέτοιων καταστάσεων είναι

,

Παρατηρούμε ότι η κατάσταση  προέρχεται από την   με πολλαπλασιασμό με το . Προκύπτει ότι αν πολλαπλασιάσουμε μία κατάσταση με ένα συντελεστή (φάση) eiφ τότε η πιθανότητα να βρούμε το qubit σε μία από τις δύο λογικές καταστάσεις δεν αλλάζει.

Αυτό γίνεται πιο εύκολα κατανοητό εάν παραστήσουμε γεωμετρικά το qubit σαν την προβολή στο μιγαδικό επίπεδο ενός διανύσματος με αρχή την αρχή των αξόνων και τέλος πάνω σε μία σφαίρα με μοναδιαία ακτίνα (σφαίρα Bloch) όπως φαίνεται και στο σχήμα.

 

 

 

 

Παρατηρούμε ότι μια κατάσταση γράφεται σύμφωνα με τις γωνίες Euler σαν . Παρατηρούμε ότι η γωνία θ είναι αυτή που καθορίζει τα πλάτη πιθανότητας και όχι η γωνία φ.

 

 

ΠΥΛΕΣ

Το δεύτερο βήμα για να μπορούμε να μιλήσουμε για κβαντικούς υπολογισμούς είναι να εισάγουμε τις κβαντικές πύλες. Από φυσικής απόψεως όταν θα λέμε κβαντικές πύλες θα εννοούμε μοναδιακούς (unitary) μετασχηματισμούς, που θα δρουν πάνω στα qubit, δηλαδή στα δικατάστατα κβαντικά μας συστήματα και θα μετασχηματίζουν τα πλάτη πιθανότητας. Ο λόγος για τον οποίο πρέπει οι μετασχηματισμοί να είναι μοναδιακοί είναι διότι έχουμε να κάνουμε με κβαντικά συστήματα τα οποία πρέπει να βρίσκονται σε στάσιμες καταστάσεις, ώστε να μπορούμε να τα μετρήσουμε. Γεωμετρικά οι κβαντικές πύλες μπορούν να αναπαρασταθούν με στροφές του συστήματος συντεταγμένων, όπως θα δούμε παρακάτω. Οι κβαντικές πύλες συνδέονται μεταξύ τους και φτιάχνουν λογικά κβαντικά δίκτυα που δρουν πάνω στα qubit και κάνουν υπολογισμούς.

Η πιο σημαντική κβαντική πύλη ενός qubit είναι η πύλη Hadamard. Όπως είπαμε και πριν οι λογικές  καταστάσεις του qubit είναι οι |0> ή |1> και για να είμαστε πιο συγκεκριμένοι συνήθως ξεκινάμε από την κατάσταση |0>. Η πύλη Hadamard έχει την ιδιότητα να μετασχηματίζει τα λογικά |0> και |1> ως εξής: , σε αναπαράσταση πινάκων έχει την μορφή  ενώ σε δίκτυα  συμβολίζεται σαν                         .

Η πύλη αυτή είναι φανερό ότι χρησιμοποιείται για να μετατρέπει ιδιοκαταστάσεις σε υπερθέσεις τους. Επίσης είναι αντιστρέψιμη και έτσι χρησιμοποιείται και για την αντίστροφη διαδικασία δηλαδή για τον μετασχηματισμό της υπέρθεσης σε ιδιοκατάσταση όπως θα δούμε.

Επόμενη κβαντική πύλη ενός qubit είναι η ΝΟΤ που σε αντιστοιχία με την κλασική εναλλάσει τις δύο λογικές ιδιοκαταστάσεις. Δηλαδή  ,

Σε αναπαράσταση πινάκων έχει την μορφή , που είναι ο  πίνακας Pauli σχ.

ενώ σε δίκτυα συμβολίζεται με                           .   .

 

Εξαιτίας τις αντιστοίχισης των καταστάσεων ενός qubit και των σημείων πάνω σε μία σφαίρα οι κβαντικές πύλες είναι στροφές της σφαίρας Bloch. Όπως είναι γνωστό οι γεννήτορες των στροφών γύρω από τους x, y και z άξονες είναι οι τρεις πίνακες Pauli , ,  και ο καθένας αναπαριστά μια κβαντική πύλη ενός qubit. Επίσης κάθε πύλη μπορεί να γραφτεί σαν ένας συνδυασμός στροφών.

 

2 Qubit

Ας προεκτείνουμε τα παραπάνω στην περίπτωση που έχουμε δύο (2) qubit. Η κατάσταση των δύο qubit μπορεί να συμβολιστεί «πολλαπλασιάζοντας» τις καταστάσεις του καθενός qubit. Έτσι έχουμε τις τέσσερις δυνατές λογικές καταστάσεις στις οποίες μπορεί να βρίσκεται το σύστημα των δύο qubit. Αυτές είναι οι

        

          

Τώρα σύμφωνα με την αρχή της υπέρθεσης η κατάσταση των δυο qubit μπορεί να είναι και ένας γραμμικός συνδυασμός των τεσσάρων αυτών λογικών καταστάσεων, δηλαδή

με .

Για τα δύο και περισσότερα qubit υπάρχουν πύλες που δρουν στο ένα ή και στα δύο επιτρέποντας έτσι την αλληλεπίδραση μεταξύ των qubit. Η πιο σημαντική πύλη 2 qubit είναι η πύλη CNOT (control-NOT) και είναι αντίστοιχη της κλασσικής πύλης XOR. Η πύλη αυτή αλλάζει την τιμή του δεύτερου qubit εάν η τιμή του πρώτου είναι 1 δηλαδή έχουμε  όπου χ,y παίρνουν τις τιμές {0,1} και τη πράξη αντιστοιχεί στην mod2. Σε αναπαράσταση πινάκων έχουμε την αντιστοίχηση και σε δίκτυα σχεδιάζεται σαν                    .

Για την πραγματοποίηση όμως υπολογισμών έχει αποδειχθεί ότι δεν αρκούν οι πύλες που δρουν σε δύο qubit αλλά χρειάζονται πύλες που εμπλέκουν 3 qubit όπως η πύλη Toffoli (CCNOT)  ... Συνεχίζεται...

 



12/3/2002
Ερμηνείες της Κβαντικής Μηχανικής

Υπάρχουν πέντε βασικές γραμμές σκέψης που θα μπορούσαμε να θεωρήσουμε σαν ερμηνείες της κβαντικής μηχανικής. Θα προσπαθήσω να αναφερθώ σε αυτές περιληπτικά. Τα μαθηματικά που χρησιμοποιούν είναι τα ίδια και απ' ότι γνωρίζω δεν υπάρχουν πειράματα που να τις ξεχωρίζουν ή να αποκλείουν κάποια.

1. Κοπεγχάγη.
2. Η κατάσταση αντικατοπτρίζει την γνώση του παρατηρητή.
3.
Η κυματοσυνάρτηση καταρρέει.
4. Οδηγόν κύμα.
5. Πολλοί κόσμοι.

Κοπεγχάγη
Όπως την καταλαβαίνω εγώ η ερμηνεία της σχολής της Κοπεγχάγης λέει ότι δεν μπορούμε να ξέρουμε τι κάνει ένα κβαντικό σωματίδιο τις χρονικές στιγμές που δεν κάνουμε μετρήσεις. Τα μαθηματικά προλέγουν τι θα παρατηρήσουμε (με κάποια πιθανότητα) σε μια μέτρηση αλλά δεν έχουμε το δικαίωμα να ρωτάμε για περισσότερα. Μπορεί και να μην υπάρχει τίποτα περισσότερο, που σημαίνει ότι ο κόσμος είναι πολύ πιο διαφορετικός από ότι φαίνεται , ή ότι ίσως ο κόσμος είναι πέραν της ανθρώπινης κατανόησης.

Η κατάσταση αντικατοπτρίζει την γνώση του παρατηρητή
Η ερμηνεία αυτή λέει ότι η κβαντική κατάσταση ενός συστήματος στην κβαντική μηχανική αντιπροσωπέυει μόνο την γνώση που έχει ο παρατηρητής για το σύστημα και όχι το σύστημα καθαυτό. Η κυματοσυνάρτηση δεν είναι μια φυσική ποσότητα αλλά αντιπροσωπεύει την γνώση μας για το που βρίσκεται το σωματίδιο.