Σε μια παράξενη χώρα, οι κάτοικοί της χρησιμοποιούν το δεκαδικό σύστημα
αρίθμησης, αποδίδοντας την ίδια έννοια στα σύμβολα +,x και =, αλλά τα ψηφία 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 χρησιμοποιούνται με διαφορετική σειρά
από ότι συνήθως. Πιο συγκεκριμένα, το σύμβολο καθενός από τα ψηφία διαφέρει από
το συνηθισμένο. Πιο κάτω φαίνονται μερικές σωστές πράξεις στο αριθμητικό
σύστημα της παράξενης χώρας, που κατά σύμπτωση ισχύουν και στο δικό μας
σύστημα:
4x7=28 5x7=35 4x6=24 1+4+6+7+7=25 Αν οι κάτοικοι αυτής της χώρας έγραφαν 2x302, ποιο θα ήταν το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού; Αρχικά θέτω: a=1, b=2, c=3, d=4, e=5, f=6, g=7, h=8, i=9 και j=0
Τα 1, 2, 3, … είναι τα σύμβολα που χρησιμοποιούν εκείνοι. Αντικαθιστώ στις παραπάνω εξισώσεις και έχω:
i.
d*g=10*b+h (δεκαδικό σύστημα) ii.
e*g=10*c+e Þ e*(g-1)=10*c iii.
d*f=10*b+d Þ d(f-1)=10*b iv.
a+d+f+2*g=10*b+e Ξεκινάω δίνοντας όλες τις δυνατές τιμές στο b. Aν ·
b=0, τότε η iii γίνεται d*(f-1)=0. Και επειδή d¹0
(επειδή b=0 και b¹d) Þ f=1. Αντικαθιστώ το b=0 στην
iv και έχω a+d+1+2*g=e. Βρίσκουμε την ελάχιστη τιμή της αριστερής πλευράς της
εξίσωσης. Αφού b=0 και f=1 δίνω
στο g (που έχει συντελεστή 2) την τιμή 2, στο a την τιμή 4 και στο d την
τιμή 3 (d¹4 από υπόθεση). Αντικαθιστώ
στην iv και έχω 12=e, ΑΤΟΠΟ
αφού e<10. Άρα b¹0. ·
b=1, τότε η iii γίνεται d*(f-1)=10=2*5 (αφού d και f-1 είναι μικρότερα από 10). Άρα: o
είτε d=2 και f-1=5Þf=6, ATOΠΟ αφού
f¹6 από υπόθεση. o
είτε d=5 και f-1=2Þf=3. Αντικαθιστώ τις τιμές αυτές στην iv και έχω: a+8+2*g=10+eÞa+2*g=e+2Þ5*a+10*g=5*e+10Þ10*g=5e+10-5*a. Αντικαθιστώ τις τιμές στην i και
έχω: 5*g=10+hÞ10*g=20+2*h. Τα
πρώτα μέλη ίσα άρα και τα δεύτερα. Δηλαδή 5*e+10-5*a=20+2*hÞ2*h=5*(e-a-8). Αν: §
h=0Þe=a+8 και
αφού a>3 (0,1,2 δεσμευμένα), ΑΤΟΠΟ. §
h>0Þe>8+aÞa=0 και e=8.
Αντικαθιστώ στην iv και έχω g=5 το οποίο είναι ΑΤΟΠΟ αφού d=5. ·
b=2, ATOΠO αφού b¹2 από
υπόθεση. ·
b=3, τότε από την iv έχω d*(f-1)=30=5*6 οπότε o
είτε d=6 και f-1=5Þf=6=d, ΑΤΟΠΟ o
είτε d=5 και f-1=6Þf=7. Αντικαθιστώ στη i και
έχω 5*g=30+hÞh=5*(g-6).
Πιθανές τιμές για το h είναι
0 και 5. §
h=5 ΑΤΟΠΟ αφού d=5 §
h=0Þg=6. Αντικαθιστώ στην iv και
έχω a+24=30+eÞa=e+6>6.
Οπότε q
αν a=7, ATOΠΟ, αφού f=7 q
αν a=9 τότε
e=3, ΑΤΟΠΟ αφού b=3 q
αν a=8 τότε
e=2. Άρα a=8, b=3, d=5, e=2, f=7, g=6 και h=0.
Αντικαθιστώ στις i, iii, iv και ισχύει. Αντικαθιστώ στην ii και
έχω 10=10*cÞc=1.
Μένουν τα i, j και οι
τιμές 4 και 9. Όμως i¹9 από υπόθεση. Άρα i=4 και j=9. ·
b=4, τότε από την iii έχω d*(f-1)=40=5*8. Άρα o
είτε d=8 και f=6, ΑΤΟΠΟ αφού f¹6 από
υπόθεση. o
είτε d=5 και f=9. Αντικαθιστώ στην i και
έχω 5*g=40+hÞg=8+(h/5). Oι πιθανές τιμές για το h είναι
0 και 5. Αν §
h=5Þg=9, ΑΤΟΠΟ αφού f=9. §
h=0Þg=8. Αντικαθιστώ στη ii και
έχω e*7=10*c. Από
αυτό συνεπάγεται ότι e=10 και
c=7, ΑΤΟΠΟ αφού e<10. ·
b³5, ΑΤΟΠΟ επειδή αντικαθιστώντας
για b=5 στην iv έχω a+d+f+2*g=50+e. Βρίσκω τη μέγιστη τιμή του αριστερού μέλους της
εξίσωσης. Δίνω στο g την τιμή 9 (έχει συντελεστή
2), στο f την τιμή 8, στο d την τιμή 7 και στο a την
τιμή 6. Αντικαθιστώντας έχω 39=50+e, ΑΤΟΠΟ
αφού e>0. Όταν λοιπόν στη χώρα
αυτή γράφουν j a b c d e f g h i
ή αντίστοιχα
0 1 2 3 4
5 6 7 8 9
εννοούν στο δικό μας σύστημα
9 8
3 1 5 2 7
6 0 4 Το δικό τους 2*302 μεταφράζεται ως 3*193=579 που
μεταφράζεται ως 460. Άρα
2*302=460
Λύση ?
Ενδεικτική
λύση: (από lhstes)
