Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο – Σχολή Πολιτικών Μηχανικών – Τομέας Υδατικών Πόρων

Μάθημα: Τυπικά Υδραυλικά Έργα – Υδρεύσεις

Άσκηση ΥE1: Διαστασιολόγηση τυπικού εξωτερικού υδραγωγείου υπό πίεση

Σύνταξη και επίλυση άσκησης: Δ. Κουτσογιάννης, 2007


Α. Να διαστασιολογηθεί υδρευτικός αγωγός ώστε να μεταφέρει παροχή σχεδιασμού 100 L/s αν η διαθέσιμη κλίση ενέργειας είναι 0.5% και το μήκος του υδραγωγείου είναι 10 km.

Β. Ποιοί πρέπει να είναι οι χειρισμοί στην αρχή της περιόδου λειτουργίας για να μεταφερθεί παροχή 60 L/s;

Λύση

Παρατήρηση: Για τη λύση χρησιμοποιείται η γενικευμένη εξίσωση Manning, η ανάπτυξη της οποίας γίνεται στο σχετικό κεφάλαιο των online σημειώσεων.

Α. Τα δεδομένα είναι Q = 100 L/s = 0.1 m3/s, J = 0.5% = 0.005. Έστω ότι θα χρησιμοποιήσουμε σωλήνες από πολυαιθυλένιο κλάσης (αντοχής) 1.25 MPa (12.5 atm). (Ο καθορισμός της κλάσης των σωλήνων προκύπτει από άλλους σχεδιαστικούς παράγοντες που δεν συζητούνται εδώ.)
Για ασφαλή σχεδιασμό υποθέτουμε τραχύτητα ε = 1 mm (στο τέλος της περιόδου σχεδιασμού), λόγω του ενδεχομένου επικαθήσεων. Η αδιαστατοποιημένη τραχύτητα είναι ε* = ε / ε0 = 1/0.05 = 20. Θεωρώντας το σύνηθες εύρος διαμέτρων και ταχυτήτων, οι συντελεστές της γενικευμένης εξίσωσης Manning είναι

          β = 0.3 + 0.0005 ε* + 0.02/(1 + 6.8 ε*) = 0.3 + 0.0005 × 20 + 0.02/(1 + 6.8 × 20) = 0.310,  

          γ = 0.096/(1 + 0.31 ε*) = 0.096/(1 + 0.31 × 20) = 0.0133,

          N = 0.00687 (1 + 1.6 ε*)0.16 = 0.00687 (1 + 1.6 × 20)0.16 = 0.0120

Κατά συνέπεια,

          D = [43+β N2 Q2/(π2 J 1+γ)][1/(5+β)] = [43 + 0.310 × 0.01202 × 0.12/(π2 × 0.0051+0.0133)][1/(5+0.310)] = 0.337 m

Η ταχύτητα προκύπτει V = 4Q / πD2 = 4 × 0.1 / (π × 0.3372) = 1.12 m/s. Παρατηρούμε ότι τόσο η διάμετρος, όσο και η ταχύτητα βρίσκονται μέσα στο σύνηθες εύρος διαμέτρων και ταχυτήτων και κατά συνέπεια το μέγιστο υπολογιστικό σφάλμα δεν θα ξεπεράσει το 1%.

Τελικώς επιλέγουμε σωλήνα πολυαιθυλενίου του εμπορίου 1.25 MPa (12.5 atm) ονομαστικής διαμέτρου 400 mm με εσωτερική διάμετρο 341 mm > 337 mm.

Σημείωση: Η ακριβής λύση, χρησιμοποιώντας τους τύπους Darcy-Weisbach και Colebrook-White βρίσκεται μετά από αρκετές δοκιμές που δεν παρουσιάζονται εδώ. Για σύγκριση παρουσιάζονται μόνο τα τελικά αποτελέσματα:

Διάμετρος D = 0.337 m (η απόκλιση από την προσεγγιστική λύση που υπολογίστηκε πιο πάνω είναι στο τέταρτο δεκαδικό ψηφίο) και ε/D = 0.0030, V = 1.12, Re =3.43 × 105 (για ν = 1.1 × 106), f = 0.0265.

Διερεύνηση: Αν δεν αναμέναμε επικαθήσεις στο σωλήνα, θα μπορούσαμε να δεχτούμε τραχύτητα ε = 0.1 mm, οπότε ε* = ε / ε0 = 0.1/0.05 = 2 και

          β = 0.3 + 0.0005 ε* + 0.02/(1 + 6.8 ε*) = 0.3 + 0.0005 × 2 + 0.02/(1 + 6.8 × 2) = 0.302,  

          γ = 0.096/(1 + 0.31 ε*) = 0.096/(1 + 0.31 × 2) = 0.059,

          N = 0.00687 (1 + 1.6 ε*)0.16 = 0.00687 (1 + 1.6 × 2)0.16 = 0.0086

Κατά συνέπεια,

          D = [43+β N2 Q2/(π2 J 1+γ)][1/(5+β)] = [43+0.302 0.00862 0.12/(π2 0.0051+0.059)][1/(5+0.302)] = 0.310 m,

δηλαδή, θα προέκυπτε μείωση της διαμέτρου κατά 9% (οι τύποι Darcy-Weisbach και Colebrook-White δίνουν D = 0.308 m – διαφορά < 1%).

Β. Τα δεδομένα είναι Q = 60 L/s = 0.06 m3/s, L  =  10 km, D = 341 mm (από την επίλυση του προηγούμενου προβλήματος) ενώ η γεωμετρική κλίση είναι J = 0.5% = 0.005, πράγμα που σημαίνει ότι διατίθεται γεωμετρικό ύψος Η = 0.005 × 10 000 = 50 m. Εφόσον το πρόβλημα αναφέρεται στην αρχή της περιόδου λειτουργίας του υδραγωγείου, θα δεχτούμε ισοδύναμη τραχύτητα ε = 0.1 mm.

Όπως υπολογίσαμε προηγουμένως, για ε = 0.1 mm οι παράμετροι της γενικευμένης εξίσωσης Manning είναι β = 0.302, γ = 0.059, Ν = 0.0086. Κατά συνέπεια η κλίση ενέργειας είναι:

          J = [43+β N2 Q2/(π2 D5+β)][1/(1+γ)] = [43+0.302 × 0.00862 × 0.062/(π2 × 0.3415+0.302)][1/(1+0.059)] = 0.00117

Οι γραμμικές απώλειες είναι hf = J L = 0.00117 × 10 000 = 11.73 m.

Κατά συνέπεια, υπάρχει ένα πλεόνασμα ενέργειας 50.0 – 11.73 = 38.27 m που πρέπει να «σπάσει», δηλαδή να διατεθεί σε τοπικές απώλειες. Χρησιμοποιούμε για το σκοπό αυτό δικλείδα σε κατάλληλο άνοιγμα, ώστε hτ = 38.27 m.

Η ταχύτητα προκύπτει V = 4Q / πD2 = 4 × 0.06 / (π × 0.3412) = 0.657 m/s.

Οι τοπικές απώλειες για τη δικλείδα είναι hτ = Κδ V 2 / 2g. Κατά συνέπεια ο συντελεστής τοπικών απωλειών είναι

Κδ = 2g hτ / V 2 = 2 × 9.81 × 38.27 / 0.6572 = 1740.

Σημείωση: Η ακριβής λύση με τους τύπους Darcy-Weisbach και Colebrook-White είναι J = 0.00114, δηλαδή το σχετικό σφάλμα είναι (0.00117 – 0.00114)/0.00114 = 3%